Rabu, 15 Maret 2017

MODEL MICHAELIS-MENTEN DENGAN PEMANENAN KONSTAN PADA POPULASI MANGSA YANG DIBATASI KAPASITAS TEMPAT DAN JUMLAH MINIMUM


MODEL MICHAELIS-MENTEN DENGAN PEMANENAN KONSTAN PADA POPULASI MANGSA YANG DIBATASI KAPASITAS TEMPAT DAN JUMLAH MINIMUM

Aswar Anas

IKIP PGRI Jember

Abstrak: Model rantai makanan sedang berkembang saat ini, salah satunya adalah model mangsa dan pemangsa yang berfungsi sebagai penyeimbang sistem rantai makanan. Jumlah minimal mangsa serta kapasitas tempat berada mangsa mempengaruhi keseimbangan jumlah mangsa dan pemangsa. Namun hal yang paling mempengaruhi jumlah mangsa adalah laju kematian pemangsa. Hal ini terlihat bahwa sistem akan setimbang jika tingkat kematian pemangsa besar, selain itu untuk menjaga kepunahan mangsa dalam pemanenan, diperoleh .
Kata Kunci: Laju kematian pemangsa, Jumlah minimal, Kapasitas tempat

PENDAHULUAN
Rantai makanan merupakan sebuah sistem yang tercipta di alam ini. Ketergantungan makhluk hidup dengan makhluk hidup yang lain merupakan interaksi yang lumrah di bumi ini. Interaksi ini terjadi karena adanya kebutuhan satu pihak atau dua pihak. Hubungan antara mangsa dan pemangsa adalah hubungan satu pihak yang merugikan satu pihak hal ini sangat erat kaitannya karena pemangsa hanya dapat bertahan hidup jika ada mangsa. Akibatnya, kemungkinan Pemangsa mengalami kepunahan menjadi kecil. Selain itu Pemangsa juga berfungsi sebagai pengendali laju pertumbuhan Mangsa.
Xiao (2005) menyatakan bahwa, kepunahan populasi terjadi karena populasi awal yang terlalu rendah. Apabila hal ini terjadi, maka populasi Mangsa berkurang dan kemungkinan terjadi kepunahan. Akibatnya populasi Pemangsa semakin terancam secara tidak langsung. Dengan punahnya Mangsa, maka Pemangsa juga mengalami kepunahan. Penyebab kepunahan Mangsa juga dipengaruhi oleh pemanenan yang terlalu tinggi. Oleh karena itu perlu pembatasan agar jumlah Mangsa tetap terkontrol dan tidak melebihi kapasitas yang ada.
Model Michaelis-Menten adalah model mangsa-pemangsa yang merupakan generalisasi dari model Lotka-Voltera. Model ini digunakan untuk kejadian jika pada sistem interaksi antar individu pada suatu populasi terdapat keterbatasan kapasitas. Namun dalam hal ini juga diberlakukan pemanenan
Menurut Timuneo persamaan pertumbuhan populasi dengan kapasitas tempat dibentuk dengan rumus:
(1)
Dengan penambahan asumsi bahwa jumlah minimal populasi juga mempengaruhi laju pertubuhan populasi, maka bentuknya adalah:
(2)
Dengan n adalah koefisien laju pertumbuhan populasi mangsa, P(t) merupakan jumlah populasi mangsa saat t, K adalah kapasitas tempat,dan m adalah jumlah minimal populasi.
Persamaan (2) merupakan model logistik yang dipengaruhi dengan kapasitas tempat dan jumlah minimum populasi. Apabila laju pertumbuhannya juga dipengaruhi oleh jumlah pemanenan sebesar h, maka persamaan (2) berubah menjadi:

(3)
Dengan , h adalah konstanta tingkat pemanenan mangsa dan adalah jumlah maksimal pemanenan Mangsa.
Xiao dan Leslie menggambarkan rumus secara umum model permanenan pada mangsa sebagai berikut:

(4)
dengan r adalah tingkat kepuasan Pemangsa, c banyaknya mangsa yang ditangkap, f faktor konversi antara banyaknya pemangsa yang lahir untuk tiap mangsa yang ditangkap,D adalah laju kematian pemangsa.
Dengan menambahkan faktor jumlah minimum populasi mangsa agar dapat berkembang biak, maka didapat
(5)






METODE PENELITIAN
Metode penelitian ini merupakan studi literatur yang berhubungan dengan model matematika, dengan tujuan:
  1. Mencari nilai pemanenan maksimum jika Pemangsa tidak ada
  2. Mencari titik-titik tetap
  3. Analisa kestabilan sistem di titik dan .

PEMBAHASAN
Berikut akan dibahas batasan tertentu pemanenan suatu populasi agar tidak terjadi kepunahan, kemudian mencari titik tetap dari model Michaelis-Menten untuk menganalisis kestabilan sistem pada setiap titik tetap ini dan juga dilakukan simulasi dengan parameter-parameter yang berbeda.


Menentukan Nilai Pemanenan Maksimum dengan Kondisi tanpa Pemangsa
Persamaan (2) mempunyai titik maksimumjika :
(6)
dengan kondisi setengah dari daya dukung kapasitas dan jumlah minimum populasi mangsa . Dapat dilihat bahwa titik tetap terjadi pada dan . Jika maka titik tidak stabil, hal ini dikarenakan populasi dengan besar akan tumbuh dengan cepat dan menjauhi dan akan menuju . Misal diberikan , titik ini bergerak cepat menuju titik maksimum pada saat . Sedangkan jika diberikan , maka titik ini bergerak lambat menuju titik stabil sebesar K. sedangkan jika diberikan , maka populasi bergerak jatuh menurun sehingga populasi mengalami kepunahan. dan sedangkan jika , maka titik ini juga melambat menurun menuju titik stabil K.
Simulasi tersebut menggambarkan, agar hasil pemanenan yang diharapkan, maka pemangsa harus ditiadakan atau sama dengan nol dan , sehingga didapatkan
Sehingga:
Jadi, pemanenan maksimum dibatasi dengan

Penentuan Titik Tetap


Misalkan :
(7)
Selanjutnya memisalkan sehingga didapat atau
Sehingga diperoleh
Selanjutnya menentukan nilai , substitusikan sehingga dengan :
Sehingga
Selanjutnya untuk didapat
Sehingga atau
Untuk sangat tidak mungkin. Hal ini disebabkan karena model diatas harus diberi jumlah minimal agar Mangsa dapat berkembang biak.






Dari hasil diatas didapat titik-tetap sebagai berikut:


Matriks Jacobi
Misal sistem persamaan (5) ditulis dengan:
Sehingga matriks Jacobi yang dibentuk adalah:
Dengan menganalisis nilai Eigen matriks Jacobi, maka akan diketahui kestabilan sistem persamaan (5).


Analisis Kestabilan Titik Tetap
Kestabilan Sistem di Titik Tetap
DiambilTitik tetap , substitusikan ke matrik Jacobi
Didapat:
Nilai eigen diperoleh dengan sehingga
Dengan didapat
Dari atas dapat diketahui bahwa bukanlah nilai eigen real karena n,m,K adalah parameter bernilai positif dan dan hanya untuk D bernilai positif, hal ini menunjukkan bahwa bersifat stabil.
Kestabilan Sistem di Titik Tetap
Diambil titik tetap dengan cara yang sama diperoleh . Dengan didapat , karena bukan lah nilai eigen real dan untuk D bernilai positif, maka juga bersifat stabil.


KESIMPULAN
Dari hasil perhutungan diperoleh 4 titik tetap. Analisa yang dilakukan pada dua titik tetap menyatakan bahwa kesetimbangan dan kestabilan populasi dipengaruhi oleh tingkat kapasitas, jumlah minimum populasi, dan laju kematian pemangsa.
Dari pembahasan yang telah dilakukan bahwa pemanenan maksimal diapat dilakukan jika , bertujuan agar populasi mangsa dan pemangsa tidak mengalami kepunahan.

DAFTAR RUJUKAN

Anton, H. (2005). Elementary Linear Algebra with Aplication. John Wiley and Sons,
Cheng, A.K (2006).Differential Equations : Models and Methods.McGraw Hill Singapore
McOwen,Robert. (2012). World wide Diferential Equations with Linear Algebra. ISBN 978-0-9842071-2-1
Mohammad Yiha D, Purnachandra R K, Ayale Taye Gosu. (2014). Mathematical Modelling Of Population Growth: The Case Of Logistic And Von Bertalnfy Models. Open Journal of Modelling and Simulation, 2014, 2, 113-126
Purnomo,D. Kosala (2000). Model Pertumbuhan Populasi Dengan Memodifikasi Model Pertumbuhan Logisti., Majalah Matematika dan Statistika Vol.1, No.1, Oktober 2000 : 21-29
Stewart, James. 2008. Calculus. Thomson Learning. CA
Timuneno, H M. Tth.Model Pertumbuhan Logistik Dengan Waktu Tunda, UNDIP.
Tsoularis, A. 2001.Analysis of Logistic Growth Models. Res. Lett. Inf. Math. Sci, (2001) 2, 23-46
Verhulst, F. 1990. Non linear Differential Equation and Dynamical System. Springer Verlag. Germany
Xiao D, 2005. Bifurcations Of A Ratio Dependent Predator-Prey system with constant rate harvesting siam J, App. Math 65. Pp 737-753